Opérateur d'évolution

Définition

$\triangleright$ Définition de l'opérateur d'évolution

Soit un système représenté à l'instant $t_0$ par $\ket {\Psi(t_0)}$.
A l'instant $t$, il est représenté par $\ket {\Psi(t)}$ tel que ce dernier satisfait l'Equation de Schrödinger.
Soit $\hat u(t,t_0)$ l'opérateur évolution défini par:
$$\ket {\Psi(t)}={{\hat u(t,t_0)\ket{\Psi(t_0)} }}$$
On définit $\hat u$, en injectant cette dernière dans l'équation de Schrödinger:

Propriétés

$\triangleright$ Propriétés de l'opérateur d'évolution

$\hat u(t_0,t_0)={{\Bbb 1}}$
$\hat u(t,t_1)\hat (t_1,t_0)={{\hat u(t,t_0)}}$
$\hat u^{-1}(t,t_0)={{\hat u(t_0,t)}}$
$\hat u^{-1}={{\hat u^{\dagger} }}$ (Opérateurs unitaires)

Remarque

$\triangleright$ Hamiltonien et opérateur évolution

L'opérateur évolution peut s'écrit en fonction de Hamiltonien (Remarque) si ce dernier est indépendant du temps:

$$\hat u(t,t_0)={{e^{-\frac i\hslash \hat H(t-t_0)} }}$$

Si l'Hamiltonien n'est pas indépendant du temps:

$$\hat u(T,t_0)= {{\Bbb 1-\frac i\hslash \int_{t_0}^T\hat H(t)\hat u(t,t_0) dt}}$$

Math'φsics

Formulaire de report

Définition

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Propriétés

\(\triangleright\) Propriétés de l'opérateur d'évolution

Remarque

\(\triangleright\) Hamiltonien et opérateur évolution